Новопраздничное
Я вот на мужЫка нашего общего обиделась за его неконкретность – чего это он в праздник (там, в названии что-то не просто про любовь, а еще про верность) возле своей февроньи не сидит, а скачет меж нами как козел.Очередное открытие в области человеческих отношений. До этого момента, получать удары в спину от коллег-мужчин мне ни разу не доводилось. Как-то Бог хранил. Опыт это для меня новый. Больно. Конечно, я знаю, как поставить обидчика на место, но почему-то не хочется. Во-первых, противно, во-вторых, с какой стати? Ведь – это будет означать, что я отнеслась слишком всерьёз к его выходке. К тому же мы все находимся в одной лодке, и если я начну совершать ответные действия, лучше ни кому не будет. Пусть себе воюет.
Иногда накатывает такое чувство, будто в мире никого нет кроме меня, а люди, которые меня окружают, на самом деле фантомы, они, перемещаясь в пространстве, просто создают некоторое изменение внешнего фона, фона на котором ничего нет кроме моего пронзительного одиночества. Существуют вещи, облака, звуки, ветер, а жизни нет. Это пройдет, возможно, что пройдет уже к вечеру, но что с этим делать сейчас? Отключу компьютер и пойду на улицу, поброжу среди фантомов.
Купила билет на паровоз. Не знаю, откуда у меня такая любовь к путешествиям по железной дороге. При этом сам пункт назначения очень мало интересует. 20 часов пути в туда и 20 назад. Просто буду видеть вокруг себя случайных людей, слушать стук колес и думать, думать… Город, в который я еду, практически близнец с моим городом. Там я схожу пообедать в мой любимый ресторан, и вечером поеду назад. Все наладиться.
Уже начинаю ждать. Дура, еще раз дура. Ох уж эти лица из телевизеров!
Моя защита кадидатской состоится 12 мая в 16-15 в универе в ауд. 14-08.
Как буду отмечать еще точно не решил, но скорее всего в этот же день устрою банкет в каком-нибудь ресторане рядом с универом.
Те, кто хочет придти на банкет, пишите, чтобы я мог рассчитывать общее число людей.
Для интересующихся научной стороной дела я положил под катом автореферат.
\documentclass[12pt,english,russian]{article}
\oddsidemargin 0in
\parindent=1cm
\textheight 22 cm \textwidth 13.5 cm
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{varioref}
\usepackage{axodraw}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mybbold}
\newcounter{mycounter}
\newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\bbP}{\mathbbold{P}}
\newcommand{\bbC}{\mathbbold{C}}
\renewcommand{\b}{\beta}
\newcommand{\gm}{\gamma}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\lm}{\lambda}
\newcommand{\nn}{\nonumber}
\newcommand{\vsp}{\vspace{0,3cm}}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\is}{\in\Psi_v^+}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\LRa}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\SA}{\left\{ \begin{array}{ll}}
\newcommand{\Sa}{\left[ \begin{array}{ll}}
\newcommand{\FA}{\end{array}\right.}
\newcommand{\insl}{\not\!\, \in}
\newcommand{\nisl}{\not\!\, \ni}
\newcommand{\leftdot}{$\!\!\!\mbox{\bf{.}}\,\,$}
\newtheorem{tr}{Теорема}
\newcommand{\BTh}{\begin{tr}\leftdot}
\newcommand{\ETh}{\end{tr}}
\newtheorem{lmm}{Лемма}
\newcommand{\BLm}{\begin{lmm}\leftdot}
\newcommand{\ELm}{\end{lmm}}
\newtheorem{deff}{Определение}
\newcommand{\BDf}{\begin{deff}\leftdot}
\newcommand{\EDf}{\end{deff}}
\newtheorem{sttt}{Предложение}[section]
\renewcommand{\thesttt}{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{sttt}}
\newcommand{\BSt}{\begin{sttt}\leftdot}
\newcommand{\ESt}{\end{sttt}}
\newenvironment{proof}{$\blacktriangleleft$ }{$\blacktriangleright$
\indent}
\newcommand{\BPr}{\begin{proof}}
\newcommand{\EPr}{\end{proof}}
\newcommand{\BZM}{\begin{zamet}}
\newcommand{\EZM}{\end{zamet}}
\newcommand{\point}{\circle*{3}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}\,}
\newcommand{\conv}{\mathrm{conv}\,}
\newcommand{\Lie}{\mathrm{Lie}\,}
\newcommand{\rk}{\mathrm{rk}\,}
\newcommand{\mod}{\mathrm{mod}\,}
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}\,}
\newcommand{\pr}{\mathrm{pr}}
\newcommand{\Aff}{\mathrm{Aff}\,}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\,}
\newcommand{\con}{\mathrm{con}\,}
\newcommand{\Br}{\mathrm{Bri}}
\newcommand{\p}[1]{\la #1\ra}
\newcommand{\ve}[2]{\overrightarrow{#1#2}}
\newcommand{\vve}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\g}{\mathfrak g}
\newcommand{\uu}{\mathfrak u}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}
\newcommand{\ttt}{\mathfrak t}
\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\h}{\mathfrak{h}}
\newcommand{\kk}{\mathfrak{k}}
\renewcommand{\ll}{\mathfrak{l}}
\newcommand{\NN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\Weil}{\mathcal{C}}
\newcommand{\WWW}{\mathcal W}
\newcommand{\PP}{\mathrm P}
\newcommand{\wt}{\mathbf{X}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\EE}{\mathbf E}
\newcommand{\VV}{\mathbf V}
\newcommand{\HH}{\mathbf H}
\newcommand{\GGamma}{\mathbf{\Gamma}}
\newcommand{\intt}{\mathrm{int}}
\newcommand{\extt}{\mathrm{ext}}
\newcommand{\NNN}{\mathrm N}
\newcommand{\mybigskip}{0.5cm}
\newcommand{\myskip}{0.3cm}
\newcommand{\Bri}{\mathrm{Bri}}
\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\setcounter{footnote}0
%\vspace*{-3cm}
\begin{center}
\vspace{1cm} \large
\hfill На правах рукописи \
\hfill УДК 511.6+512.772.7+515.142.2\
\vspace{2cm} {\large ВАШЕВНИК Андрей Михайлович}\
\vspace{1cm} {\Large\bf Пары Белого над конечными полями
\
и их редукция
}\
\vspace{3cm}
{Специальность:\
01.01.06 -- математическая логика, алгебра и теория чисел}\
\vspace{1.5cm} АВТОРЕФЕРАТ\
диссертации на соискание ученой степени\
кандидата физико-математических наук\
\vfill \vspace{1.5cm} Москва, 2006 г.
\end{center}
\end{titlepage}
\newpage
\large
\begin{titlepage}
\large
\noindent Работа выполнена на кафедре высшей алгебры
Механико-ма\-те\-ма\-ти\-ческого факультета Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова. \vspace{0.4cm}
\noindent\begin{tabular}{p{6cm}p{7.9cm}}
Научный руководитель: & доктор физико-математических наук, профессор Г.~Б.~Шабат\
\vspace{0.1cm} & \vspace{0.1cm}\
Официальные оппоненты:&доктор физико-математических наук
М.~А.~Цфасман;
\
&\
&кандидат физико-математических наук Н.~М.~Адрианов
\
\vspace{0.1cm} & \vspace{0.1cm}\
Ведущая организация: & Математический институт \
&им.~В.~А. Стеклова РАН
\end{tabular}
Защита состоится 12 мая 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании
диссертационного совета Д 501.001.84 в Московском государственном
университете им.~М.В.~Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва,
Ленинские горы, МГУ, механико-ма\-те\-ма\-ти\-чес\-кий факультет,
аудитория 14-08.
\vspace{0.1cm}
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке
меха\-нико-ма\-те\-ма\-ти\-ческого
факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).%}.
\vspace{0.1cm} Автореферат разослан 12 апреля 2006 г.
\vspace{4.0cm}
\noindent Ученый секретарь диссертационного
\\noindent совета Д 501.001.84 в МГУ
\\noindent доктор физ.-мат. наук, профессор \hfill В.Н. Чубариков
\end{titlepage}
\textbf{\begin{Large}Общая характеристика работы\end{Large}}
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Актуальность темы}
\large \vspace{\myskip} \sloppy Алгебраические кривые,
определяемые различными ком\-би\-на\-тор\-ны\-ми структурами на
римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно
возникают как в качестве естественных комбинаторных и
алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории
пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой
гравитации, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие
комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях
приходится на последние два десятилетия, когда обнаруживаются
многочисленные новые взаимосвязи между алгебраической геометрией,
комплексным анализом, топологией, дифференциальными уравнениями,
компьютерной алгеброй и др.
В 1972- 1984~г. известный французский математик Александр Гротендик
установил, что все алгебраические кривые над числовыми полями
могут быть реализованы в виде графов специального вида на
римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий
граф является полным $\b$-прообразом прямой, соединяющей
какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции
$\b$ с не более чем тремя критическими значениями (так называемой
{\em функции Белого\/}), заданной на исходной кривой. Гротендик
назвал графы рассматриваемого вида {\em детскими рисунками\/}
({\it dessin denfant\/}). В дальнейшем это название стало
общепринятым. Выяснилось\footnote{ \textit{ Shabat G.B.,
Voevodsky V.A.}, Drawing curves over number fields. The
Grothendieck Festschrift // Birkhauser.---1990.---V. III.---P.
199-227.}, что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над
числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий.
Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры,
посвященный изучению детских рисунков Гротендика, кривых над
числовыми полями, рациональных функций с необщим числом
критических значений, активно развивается математиками из разных
стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в
большом количестве печатных работ в центральных математических
журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках \footnote{
\textit{ Schneps L.}, The Grothendieck-Teichmuller group: a
survey, in Geometric Galois Theory I, LMS Lecture Notes 242,
Cambridge U. Press, 1997.} \footnote{\textit{Schneps L., Lochak
P.}, London Math. Soc. Lecture Note Series.---1997.---V.
242-243.},
в работе различных международных конференций.
{\bf Определение.} {\em Парой Белого\/} {\it $(X,\beta)$
называется алгебраическая кривая~$X$ и непостоянная рациональная
функция $\beta: X \to \bbP^1(\bbC)$, имеющая не более трех
критических значений. Функцию $\beta$ обычно называют {\em
функцией Белого\/}}.
Доказана эквивалентность категории пар Белого и категории детских
рисунков. Существуют методы построения детских рисунков,
соответствующих данной паре Белого. А именно, для нахождения
детского рисунка, соответствующего данной паре Белого $(X,\b)$,
достаточно взять полный $\b$-прообраз любой несамопересекающейся
кривой, соединяющей какие-либо два критических значения функции
Белого. Однако, обратная задача является исключительно сложной.
Существует множество частных решений этой проблемы
\footnote{\textit{ Адрианов Н.М., Кочетков Ю.Ю., Шабат Г.Б.,
Суворов А.Д.}, Плоские деревья и группы Матье // Фундаментальная и
прикладная математика.---1995.---Т. 1, \No~2.--- С. 377--384.}
\footnote{\textit{ B\`etr\`ema~J., P\er\`e~D., Zvonkine~A.},
Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux:
Rapport Interne de LaBRI.---1992.---V. 75-92.} \footnote{\textit{
Kochetkov~Yu.~Yu.}, Trees of diameter 4 //
Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.---Berlin:
Springer-Verlag.---2000.---P. 447-453.} \footnote{\textit{Shabat
G.}, On a class of families of Belyi functions // Formal Power
Series and Algebraic Combinatorics.---Berlin: Springer-Verlag,
2000.---P. 575-580.} \footnote{\textit{Amburg N.}, Regular
unicellular dessins senfants and Weil curves
// Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.---Berlin:
Springer-Verlag, 2000.---P. 393-401.}, но отсутствует хоть
какой-нибудь подход к общему решению.
Задача данной диссертации - распространение теории Гротендика на
произвольные поля. Для этого строится алгебраическая теория,
которая приводит к классическому определению пар Белого в случае,
если основное поле имеет нулевую характеристику.
% Алгебраизация теорий римановых
%поверхностей (Римана, Клейна, Тейхмюллера, Штребеля, Гротендика).
В данной работе определяются также простые плохой редукции
детского рисунка. Определение простых плохой редукции давалось и в
работах \footnote{\textit{Wewers~S.}, Three point covers with bad
reduction. J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 991-1032.}
\footnote{\textit{Zapponi~L.}, Specialization of polynomial covers
of prime degree, Pacific J. Math., 214, no. 1, (2004). 161-183}.
Особенность подхода, приведенного здесь, состоит в том, что
определение дается для детского рисунка и не зависит от выбора
функции Белого, ему соответствующей. Также стоит отметить, что
данное определение элементарно и не требует от читателя
продвинутых знаний алгебраической геометрии.
Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно
разрабатываемой современными математиками.
\vspace{\mybigskip} %\pagebreak
\textbf{Цель работы}
\vspace{\myskip}
Цель работы состоит в распространении теории Гротендика на
произвольные поля. В работе даны определения пары Белого над
произвольным полем и простых плохой редукции для комбинаторных
инвариантов детских рисунков. Установлена связь между парами
Белого с одинаковыми инвариантами над различными полями;
разработаны методы нахождения простых плохой редукции.
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Основные методы исследования}
\vspace{\myskip}
В работе используются методы и результаты теории графов, теории
Галуа, теории комплексных алгебраических кривых.
\vspace{\mybigskip} \pagebreak
\textbf{Научная новизна}
\vspace{\myskip}
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item Введение понятия пары Белого над произвольным алгебраически
замкнутым полем.
\item Установление соответствий между функциями Белого над
конечными полями и функциями Белого над полями характеристики 0,
получение условий спуска в положительную характеристику.
\item Введение понятия простых плохой редукции.
\item Исследование связи простых плохой редукции с комбинаторными
характеристиками рисунка.
\item Получение критериев реализуемости наборов валентностей в
положительной характеристике.
\end{list}
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Практическая и теоретическая ценность}
\vspace{\myskip}
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут
быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков
Гротендика, теории алгебраических кривых, теории Галуа.
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Апробация результатов}
\vspace{\myskip}
Результаты диссертации докладывались на
12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и
алгебраической комбинаторике в Москве в 2000~г., на международной
алгебраической конференции, посвящённой 250-летию Московского
университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 26 мая --
2 июня 2004 г.), на международном семинаре по компьютерной
алгебре и информатике (9 ноября -- 11 ноября 2005 г),
на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей
алгебры механико-ма\-те\-ма\-ти\-чес\-кого факультета МГУ, на
семинаре по алгебраической геометрии в НМУ под руководством М.А.
Цфасмана, неоднократно на семинаре ``Графы на поверхностях и
кривые над числовыми полями" в МГУ под руководством Г.Б.Шабата.
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Публикации}
\vspace{\myskip}
Основные результаты опубликованы в двух работах, список которых
приведен в конце автореферата [1-2].
\vspace{\mybigskip}
\textbf{Структура диссертации}
\vspace{\myskip}
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Полный объем диссертации --- 78 страниц, библиография включает 27
наименований.
\vspace{\mybigskip}
\textbf{\begin{large}Краткое содержание работы\end{large}}
\vspace{\myskip}
\textbf{В первой главе} определяются основные объекты
рассматриваемой теории, строятся основные понятия, используемые в
работе, и приводится краткий обзор существующих методов и
результатов.
\textit{В первом параграфе} рассказывается об основных понятиях
теории алгебраических кривых.
\textit{Во втором параграфе} дается определение детского рисунка и
объектов, с ними связанных.
\textit{В третьем параграфе} рассказывается о парах Белого.
\textit{В четвертом параграфе} приведены свойства дискриминантов
многочленов.
\textit{В пятом параграфе} дается определение обобщенных
многочленов Чебышева и приводятся их свойства.
\textbf{Во второй главе} вводится понятие функции Белого над
произвольным алгебраически замкнутым полем.
\textit{В первом параграфе} приводятся условия на рациональную
функцию $\beta$, которые имеют смысл над произвольным полем. В
случае поля комплексных чисел каждое из них эквивалентно тому, что
$\beta$ - является функцией Белого рода 0. Однако, над полем
положительной характеристики эти условия уже не являются
эквивалентными друг другу. Устанавливаются соотношения между этими
условиями. Вводятся определение функции Белого и регулярной
функции Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем.
Приводится необходимое и достаточное условие того, что функция
Белого является регулярной функцией Белого.
\textit{Во втором параграфе} приводятся результаты, аналогичные
результатам первого параграфа, для обобщенным многочленов
Чебышева.
\textit{В третьем параграфе} приводятся примеры функций Белого и
регулярных функций Белого.
\textbf{В третьей главе} вычисляются функции Белого для некоторых
серий над произвольными алгебраически замкнутыми полями. полем.
\textit{В первом параграфе} в явном виде находятся обобщенные
многочлены Чебышева для деревьев диаметра 3.
\textit{Во втором параграфе} устанавливаются соотношения для
обобщенных многочленов Чебышева, соответствующих деревьям диаметра
3. Приводится необходимое и достаточное условие того, что система
уравнений на параметры обобщенного многочлена Чебышева имеет
паразитическое решение.
\textit{В третьем параграфе} приводятся примеры, когда для
некоторого набора кратностей не существует ни одной функции Белого
в конечной характеристике, а также когда для набора кратностей
существует бесконечное семейство неэквивалентных друг другу
функций Белого. Устанавливаются необходимые критерии того, что для
набора кратностей существует функция Белого.
\textbf{Четвертая глава} посвящена введению определения простых
плохой редукции для детского рисунка (набора валентностей) и
установлению соотношений между классическими функциями Белого и
функциями Белого над конечными полями.
\textit{В первом параграфе} приводятся критерии спуска функции
Белого и обобщенного многочлена Чебышева в положительную
характеристику.
\textit{Во втором параграфе} дается определение простых плохой
редукции для некоторого набора кратностей.
\textit{В третьем параграфе} вычисляются простые плохой редукции
для наборов кратностей, соответствующих цепочкам и соответствующих
деревьям диаметра 3. Устанавливаются соотношения для простых
плохой редукции для наборов кратностей, соответствующих деревьям
диаметра 4.
\textbf{Пятая глава} посвящена построению аналогичной теории для
кривых положительных родов.
\textit{В первом параграфе} выписывается дивизориальная система
уравнений на рациональную функцию $\beta$ над некоторой
алгебраической кривой $X$. Приводятся определения функции Белого
над произвольным алгебраически замкнутым полем, простых плохой
редукции. Устанавливаются свойства построенных объектов.
\textit{Во втором параграфе} анализируются детские рисунки,
соответствующие абстрактному графу $K_{3,3}$. Выписываются пары
Белого для каждого из этих рисунков.
\textit{В третьем параграфе} для рисунков, построенных в
предыдущем параграфе, находятся списки простых плохой редукции.
\vspace{\mybigskip} \pagebreak
\textbf{\begin{large}Благодарности\end{large}}
\vspace{\myskip}
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю
доктору физ.-мат. наук, профессору Георгию~Борисовичу~Шабату за
постановку задач, полезные обсуждения, постоянную поддержку и
внимание к работе. Искренне признателен сотрудникам кафедры высшей
алгебры за интерес к моей работе и полезные советы.
\vspace{\mybigskip}
%\pagebreak
\textbf{\begin{large}Список публикаций по теме диссертации\end{large}}
\vspace{\myskip}
\begin{enumerate}
\item\textit{Вашевник А.М.} К определению обобщенных многочленов
Чебышёва над конечными полями. Функциональный анализ и его
приложения, № 3, 2001, 77-79.
\item\textit{Вашевник А.М.} Простые плохой редукции детских
рисунков рода 0. Фундаментальная и прикладная математика т.11
вып.2, 2005, 25-43.
\end{enumerate}
\end{document}
